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Schach in 3 Dimensionen

Schach hoch 3, ein Nebenprodukt meiner Überlegungen zu III-COLOR-Schach


Schach hoch 3 ist eine Variante des königlichen Strategiespiels Schach im dreidimensionalen Raum. Es ist hilfreich bereits Schach spielen zu können, um Schach hoch 3 zu erlernen, aber nicht unbedingt notwendig.

Ich gehen davon aus, dass die allermeisten Leser bereits Schach spielen können. Die Grundprinzipien bei Schach hoch 3 sind die gleichen wie beim FIDE-Schach. Es gibt jedoch ein paar Unterschiede, vor allem was die Bewegungsarten bzw. Reichweiten der Spielsteine angeht. Diese Unterschiede erläutere ich im Folgenden, damit alle Schachspieler sofort mit Schach hoch 3 beginnen können. Die Schachanfänger verweise ich auf die umfangreiche Schachliteratur, in der die Grundregeln des königlichen Spiels nachzulesen sind.

Spielmaterial

Zu einem Satz Schach hoch 3-Figuren (auch "Spielsteine" genannt) gehören, bis auf eine Ausnahme, dieselben Steine wie beim klassischen Satz:
je 1 weißer und schwarzer König,
je 1 weiße und schwarze Dame,
je 2 weiße und schwarze Türme,
je 2 weiße und schwarze Läufer,
je 2 weiße und schwarze Springer,
je 4 (!) weiße und schwarze Bauern.

Spielvorbereitung, Grundstellung

Der Cubus wird für den Spieler mit den weißen Steinen so hingestellt, dass sein linkes unteres Eckfeld "a1a" schwarz ist. Der Spieler mit den schwarzen Steinen sitzt ihm gegenüber. Die Spielsteine werden wie abgebildet im Cubus zur Grundstellung aufgebaut. Wie beim Schachspiel gilt: weiße Dame auf weißes Feld, schwarze Dame auf schwarzes Feld.

Grundstellung


Die Könige

Könige ziehen ein Feld geradeaus (nicht diagonal!). Sie sind natürlich auch bei Schach hoch 3 die Hauptfiguren. Rochaden gibt es im Cubus nicht.

König


Die Bauern

Beide Parteien verfügen über je 4 Bauern. Auf jeder Linie steht ein Bauer jeder Spielfarbe (weiße und schwarze a-, b-, c- und d-Bauern). Die weißen ziehen ein Feld vor- oder aufwärts, die schwarzen ziehen den weißen mit einem Schritt entgegen, das heißt vorwärts oder nach unten. Ein Bauer schlägt auf die diagonalen Felder "vor" ihm, ein weißer also auch auf die schräg rechts und links über ihm, ein schwarzer auf die schräg rechts und links unter ihm liegenden. Ein Bauer zieht niemals quer oder zurück. Erreicht er nach 5 Zügen die Grundreihe des Gegenspielers (ein weißer die Reihe 4 auf Ebene d, ein schwarzer die Reihe 1 auf Ebene a), wird er sofort, wie beim klassischen Schach, in eine beliebige Figur (außer König) nach Wahl des ziehenden Spielers umgewandelt. Bauern sind nach wie vor die einzigen Steine, die anders schlagen als sie ziehen. Den Doppelschritt aus der Grundstellung und das en-passant-Schlagen gibt es im Cubus nicht.

Bauern


Die Läufer

Läufer bleiben immer an ihre Feldfarbe gebunden und ziehen ein Feld weit flächendiagonal, egal ob innerhalb einer Ebene oder von einer Ebene zur angrenzenden. Sie haben die langschrittige Zugweise im Cubus eingebüßt.

Läufer


Die Springer

Die Bewegung der Springer ist weiterhin der "Rösselsprung". Er setzt sich zusammen aus zwei geraden und einem dazu rechtwinkligen Schritt (natürlich auch nach oben oder unten). Bei jedem Zug wechselt der Springer seine Feldfarbe. Nur der Springer darf andere Spielsteine überspringen. In dem folgenden Bild hat sich ein Fehler eingeschlichen. Finden sie ihn?

Springer


Die Türme

Am Zugprinzip der Türme hat sich nichts geändert. Türme ziehen in alle drei Raumrichtungen beliebig viele Felder gerade, dürfen aber keinen Stein überspringen. Sie sind die einzigen "langschrittigen" Figuren im Cubus. Läufer und Damen steht diese Zugweise hier nicht zur Verfügung.

Türme


Die Damen

Die Dame zieht nur ein Feld weit gerade oder diagonal, nicht langschrittig. Aber sie ist auch bei Schach hoch 3 die mächtigste Figur.

Türme


Ende des Spiels

Wie beim klassischen Schach ist natürlich auch hier Ziel, den gegnerischen König matt zu setzen, das heißt, ihn in eine Situation zu bringen, in der er im nächsten Zug zwangsläufig geschlagen würde. Kann sich der bedrohte König einer solchen Bedrohung nicht entziehen, so ist er matt, und der matt gesetzte Spieler hat die Partie verloren. Der Sieger erhält einen Punkt, der Verlierer keinen. Spielaufgabe wird wie ein matt gewertet. Ist der einzig mögliche Zug des unbedrohten Königs ein Zug auf ein bedrohtes Feld, so ist dieser patt. Der betreffende Spieler hat ebenfalls verloren, was generell einen großen Unterschied zum FIDE-Schach darstellt. In diesem Fall erhält der Sieger allerdings nur 3/4 und der Unterlegene immerhin 1/4 Punkte. Für ein Remis (Unentschieden bei Einigung der beiden Gegner oder bei dreimaliger Zugwiederholung) bekommen beide Spieler einen halben Punkt.

Die Notation bei Schach hoch 3

Die Notation erfolgt wie beim klassischen Schach - logischerweise lediglich mit der zusätzlichen Angabe der Ebenen, auf der sich die vom Zug betroffenen Felder befinden. Schlägt die weiße Dame beispielsweise einen schwarzen Stein von ihrem Grundfeld aus diagonal vor- und aufwärts, so kann man dafür schreiben: Db1a x b2b oder in der Kurznotation einfach D : b2b.



Spieltheorie

Jeder Schachspieler ist in der Lage mein dreidimensionales Schachspiel sofort zu lernen, denn es ist eine Übertragung der klassischen Regeln auf den dreidimensionalen Raum mit nur kleinen Änderungen.

Damit es aber so gut funktioniert und auch von klassischen Schachspielern noch als "Schach3" empfunden wird, waren zahlreiche Vorüberlegungen nötig. Jeder der nur Raumschach spielen will, braucht sich um die spieltheoretische Grundlagen nicht zu kümmern. Allen Mathematik- und Spieltheoriefreunden will ich diese Überlegungen aber nicht vorenthalten:

Grundlage meiner Schach hoch 3 - Regeln sind langjährige mathematische und spieltheoretische Überlegungen.

Die Theorie des Schachspiels im CUBUS

Neben der schlichten Schönheit der kubischen Spieleinrichtung mit der Kantenlänge von 4 Einheiten zeigt sich auch ihre Sinnfälligkeit beim Vergleich mit dem Schachbrett. Beide besitzen nämlich 64 Felder (bzw. Kammern, Einheiten). Da beide Spielpläne gleich groß sind, kann das Raum-Schachspiel grundsätzlich nicht schwieriger sein als Schach auf dem Brett. Die Spielfiguren besitzen im CUBUS lediglich ihre besondere räumliche Gangart. Dabei muß berücksichtigt werden, daß die Kanten des CUBUS nur 4, jene des Schachbretts aber 8 Einheiten weit auseinanderliegen, was eine natürliche Beschränkung der Reichweite der Figuren zur Folge hat.

Das Koordinatensystem des CUBUS beinhaltet neben der x-Ausdehnung, die mit den kleinen lateinischen Buchstaben a, b, c, d symbolisiert wird, und der y-Ausdehnung, welche mit den arabischen Zahlen 1, 2, 3, 4 notiert wird, die neue z-Ausdehnung, der die griechischen Buchstaben a, b, g, d zugeordnet werden.

Nun kann man sich vorstellen, daß 12 Schachbretter der Größe 4 mal 4 einander zu einem Würfel durchdringen, 4 übereinanderliegende Bretter in x-y-Richtung (so sieht der CUBUS wirklich aus, damit die Gravitation die Figuren auf den Ebenen hält), 4 nebeneinander positionierte Bretter in y-z-Richtung und 4 ebensolche Bretter in z-x-Richtung. Genau auf diesen imaginären Brettern bewegen sich die Spielsteine. Deshalb gibt es auch keine Figur, die raumdiagonal gezogen wird, denn raumdiagonal angrenzende Kammern liegen niemals auf derselben Ebene.

Da nur vier "Linien" (y-z-Ebenen) existieren, gibt es nur vier Bauern. Diese stehen bei Spielbeginn vor ihren Schwerfiguren und sollen bis zur Umwandlung auf des Gegners Grundreihe mindestens 5 Schritte tun, wie auf dem Brett. So hangeln sie sich auf ihrer y-z-Ebene mit geraden Schritten Kammer für Kammer dem Umwandlungsfeld entgegen. Beim Schlagen wechseln sie diagonal seitwärts (entlang der z-x-Richtung) auf eine benachbarte y-z-Ebene und setzen dort ihren Weg fort. Der Doppelschritt am Anfang jedes Bauernwegs entfällt im CUBUS ebenso wie das en-passant-Schlagen. Bemerkenswerterweise können Bauern nun in der dritten Dimension umeinander herumlaufen, ohne sich (wie auf dem Brett) zu blockieren.

Das Zauberwort zur Verbindung von Schachbrett und CUBUS heißt "CP-Invarianz", ein Begriff der Mathematiker, der auch für das Symmetrieverhalten des Schachspiels in der Grundstellung anwendbar ist. C steht dabei für Charge, also Ladung (weiß und schwarz), P für Parity oder Spiegelbild. Die beiden Bretthälften nebst Spielsteinen verhalten sich zueinander wie farblich umgekehrt im Spiegel betrachtet. Mit einem kleinen Gedankenexperiment kann man nun aus der weißen Schachbretthälfte den CUBUS entwickeln:

Zunächst wird das halbe Schachbrett gefaltet: die Läuferlinien nach oben, die Springerlinien rechts und links daneben und die Turmlinien wieder nach unten. Werden die vier überzähligen (Doppel-)Bauern aus der oberen Reihe entfernt, so steht da schon die Grundstellung in einem halben CUBUS. Im nächsten Schritt werden alle Feld- und Figurenfarben umgekehrt, dann das ganze nach oben gespiegelt und schließlich (das ist eine nötige zusätzliche Symmetrieoperation im Raum) um 180 Grad gedreht. Das Ergebnis beim Verbinden der weißen und der erhaltenen schwarzen Hälfte ist der CUBUS inklusive der Grundstellung für "Schach hoch 3".

Dort stehen nun Könige und Damen einander diagonal gegenüber, aber eben nicht über eine "Bande" wie auf dem Brett. Hätte die Dame die schachbekannte lange Gangart, so wären beide Könige schon jetzt bedroht. Da das einsichtigerweise nicht sein darf, ist dieser Sachverhalt ein starkes Kriterium für die Reduzierung der Dame auf die kurzschrittige Gangart. Ein historischer Grund kommt hinzu: Erst im Angedenken an die Jungfrau Jeanne d´Arc von Orleans bekam die Schach-Dame im Mittelalter ihre machtvolle Entfaltungsmöglichkeit. Als Wesir hatte sie vorher ein eher bescheidenes Dasein gefristet, denn sie zog nur ein Feld diagonal. Als Folge dieser Kraftzunahme wurden übrigens anschließend die Rochaden eingeführt.

Man erkennt bereits, daß die Gangarten vom Brett nicht so einfach in den CUBUS übernommen werden können, denn sie haben sich über lange Zeit evolutionär entwickelt, sodass sie heutzutage, wie viele Schachspieler glauben, an das karierte 8 mal 8-Brett optimal angepasst sind. Deshalb wird Schach inzwischen weltweit (Ausnahmen bestätigen die Regel) nach denselben Regeln gespielt. Im CUBUS ist die geometrische Umgebung aber eine etwas andere!

Um quantitative Aussagen über die Gangarten der Figuren zu erhalten, wird zweckmäßigerweise deren Beweglichkeit betrachtet. Darunter versteht man die Summe aus der Anzahl aller Felder, die eine Figur auf dem sonst leeren Spielplan von allen ihrer Gangart erlaubten Feldern aus erreichen kann. Dieser Wert wird auch Schlagkraft genannt. Dividiert man durch die Anzahl der erlaubten Felder, so ergibt sich die mittlere Beweglichkeit. Eng mit der Beweglichkeit der Figuren verwandt ist die Nachbarschaftsdichte der Spielfelder, die hier zuerst untersucht werden soll. Dabei handelt es sich im Prinzip um den Spezialfall der kurzen, geraden Bewegung, also der Königs-Gangart im CUBUS. Dieser Vergleich zwischen Brett und CUBUS ergibt einen fundamentalen Zusammenhang.

Auf dem Schachbrett hat jede der 4 Ecken 2 gerade Nachbarn, jedes der 24 Kantenfelder hat 3, und die inneren 32 Felder haben 4 Nachbarn.

(4*2 + 24*3 + 36*4) / 64 = 3,5

Das bedeutet: Jedes Feld auf dem Schachbrett hat durchschnittlich dreieinhalb Nachbarfelder.

Der Cubus besitzt 8 Ecken mit je 3, 24 Kantenkammern mit 4, 24 Seitenkammern mit 5 und 8 Zentrumskammern mit 6 geraden Nachbarn.

(8*3 + 24*4 + 24*5 + 8*6) / 64 = 4,5

Jede Kammer des CUBUS hat also im Durchschnitt viereinhalb Nachbarkammern. Dies ist gleichzeitig des Königs Beweglichkeit im CUBUS. Auf dem Brett bringt er es auf:

(4*3 + 24*5 + 36*8) / 64 = 6,5625

und ist dort etwa eineinhalbmal so stark. Mit der Bewegungsart vom Brett wäre er im CUBUS jedoch nicht mattzusetzen. Übrigens zieht der General, die Königsfigur im chinesischen Schach Xian Chi, auch nur gerade kurz.

Setzt man nun die Nachbarschaftdichten von CUBUS und Schachbrett ins Verhältnis zueinander, so ergibt das:

4,5 / 3,5 = 9 / 7 (!)

Der CUBUS ist für die Bewegungsfreiheit der Figuren um den Faktor 9/7 enger oder dichter gepackt als das Brett. Wünschenswert wäre folglich, die Beweglichkeit aller Spielsteine zusammen derart einzuschränken, daß sie die Enge des CUBUS genau kompensiert. Im CUBUS muß demnach die Gesamtbeweglichkeit aller Spielsteine zusammen 7/9 der des Brettes betragen, damit ein vergleichbar sinnvoller Spielfluß zustande kommt. Das ist das Ziel der folgenden Rechnerei.

Bei der Untersuchung der Beweglichkeit der Bauern wird zunächst die Tatsache vernachlässigt, daß sie unterschiedlich schlagen und ziehen. Weil die Bauern zusammen auf dem Brett 48 Felder begehen können, beträgt ihre gemeinsame Beweglichkeit dort:

(10*2 + 32*3 + 6*4) / 48 =2,917

Die vier Bauern des CUBUS erreichen 44 Kammern. Das bedeutet für die gemeinsame Beweglichkeit:

(10*2 + 10*3 + 12*4 +12*6) / 44 = 3,864

Ins Verhältnis gesetzt sind die 4 CUBUS-Bauern 17/14 stärker als ihre 8 Kollegen auf dem Brett.

3,864 / 2,917 = 17 / 14

Mit der diagonalen Bewegung erreicht ein Läufer nur 32 Felder, einer die weißen, der andere die schwarzen, egal ob er lang- oder kurzschrittig zieht. Auf dem Brett hat der Läufer eine Beweglichkeit von:

(14*7 + 10*9 + 6*11 +2*13) / 32 = 8,75

Mit dieser langen Gangart würde er unter anderem in der CUBUS-Grundstellung bereits einen Mittelbauern bedrohen, was nicht so richtig gefallen mag. Mit der kurzschrittigen diagonal-Gangart gibt es solche Probleme nicht, deshalb:

(4*3 + 12*5 +12*8 + 4*12) / 32 = 6,75

Vergleicht man die Beweglichkeiten des Läufers im CUBUS und auf dem Brett, so vollzieht sich die Begrenzung auf 7/9 fast ideal:

6,75 / 8,75 = 27 / 35

Die langschrittige, gerade Bewegung der Türme bleibt im CUBUS erhalten. Dennoch sinkt ihre Beweglichkeit. Während ein Turm auf dem leeren Brett von jedem Feld aus 14 Ziele erreichen kann, bleiben ihm im CUBUS nur 9. Seine Beweglichkeit sinkt demnach auf 9/14.

Der Springer ist, wie auf dem Brett, so auch im CUBUS in der Lage, Euler-Wege zu beschreiten. Das heißt, er erreicht mit seiner Gangart alle 64 Felder in 63 Zügen von einem beliebigen Startfeld aus. Auf dem Brett beträgt die mittlere Beweglichkeit des Springers:

(4*2 + 8*3 + 20*4 + 16*6 + 16*8) / 64 = 5,25

Für den CUBUS lautet die Rechnung:

(8*6 + 24*8 + 24*10 + 8*12) / 64 = 9

Bei der Gegenüberstellung beider Ergebnisse stellt man fest, dass der Springer im CUBUS kräftig dazugewinnt. Er ist genauso stark wie ein Turm.

9 / 5.25 = 12 / 7

Das macht den Springer zu einer wertvollen Figur. Im Spiel macht sich das häufig durch Gabeldrohungen bemerkbar. Die vom Springer bedrohten Felder bilden eine Kugel, analog dem Springerrad auf dem Brett, die aber ein wenig zu groß ist, um im CUBUS vollständig Platz zu finden.

Auf dem Brett, wo die Dame lang gerade oder diagonal zieht, bringt sie es auf mächtige:

(28*21 + 20*23 +12*25 + 4*27) / 64 = 22,75

Mit der kurzen Gangart verbleiben ihr im CUBUS noch:

(8*6 + 24*9 + 24*13 + 8*18) / 64 = 11,25

Obwohl die Dame im CUBUS numerisch etwa die Hälfte an Kraft verliert, bleibt sie doch die stärkste Figur!

Addiert man die Schlagzahlen aller Figuren und vergleicht CUBUS und Brett miteinander, so zeigt sich, dass die Forderung nach Kompensation annähernd perfekt erfüllt ist:

CUBUS:

(8B) 340 + (2K) 576 + (2D) 1440 + (4T) 2304 + (4L) 864 + (4S) 2304 = 7828

Schachbrett:

(16B) 280 + (2K) 840 + (2D) 2912 + (4T) 3584 + (4L) 1120 + (4S) 1344 = 10080

Ins Verhältnis gesetzt:

7828 / 10080 = 0,777 = 7 / 9

Was zu zeigen war!

Die Abschätzung der spieltechnischen Folgen ergibt:

Eine Dame ist soviel wert wie ein Turm und ein Läufer oder wie ein Springer und ein Läufer.

Die Macht des Läuferpaares erscheint in dieser Rechnung unterbewertet ohne den Hinweis, daß der König nicht diagonal ziehen darf.

Was der König an Kraft verloren hat, haben die Bauern hinzugewonnen.

Da die Gesamtbeweglichkeit der Spielsteine auf 7/9 gesunken ist, ist der zu berechnende Spielbaum nur 7/9 so buschig wie jener für das Schachspiel auf dem Brett. Statt in die Breite zu rechnen, kann man stattdessen in derselben Zeit die Zweige tiefer durchkalkulieren.

Für die Tauschwerte gilt in erster Näherung:

1 Dame = 2 Figuren (Springer, Läufer oder Türme) = 4 Bauern

zum Beginn der Spieltheorie


Magische Quadrate und Schach im CUBUS

Klaus Lindörfer, der Verfasser des großen Schachlexikons, weist in einem Aufsatz (veröffentlicht in Rochade, Mai 1983) auf die Theorie von Pavle Bidev (Historiker und Schachmeister) hin, die Regeln des Schachspiels seien im fernöstlichen Kulturkreis aus der Kenntnis eines MQ der Größe 8 entwickelt worden, das die Gangarten der Figuren mit der magischen Konstante 260 in Verbindung bringt. Das betreffende MQ ist einem alten arabischen Manuskript entnommen und wird Safadi-MQ genannt. Genauere Informationen zu seiner Entdeckung entziehen sich leider meiner Kenntnis.

Das Safadi-MQ

8

57

58

6

5

4

3

63

64

7

49

50

14

13

12

11

55

56

6

24

23

43

44

45

46

18

17

5

32

31

35

36

37

38

26

25

4

40

39

27

28

29

30

34

33

3

48

47

19

20

21

22

42

41

2

9

10

54

53

52

51

15

16

1

1

2

62

61

60

59

7

8

a

b

c

d

e

f

g

h

Zunächst besitzt jede Zeile und jede Spalte dieses MQ natürlich 8 Elemente, die aufaddiert 260 ergeben, ein Hinweis darauf, daß es auf dem Schachbrett grundsätzlich Spielsteine geben darf, die "geradeaus" laufen. Mit der kurzschrittigen geraden Gangart können sie in 7 Zügen eine solche Linie aufsummieren.

Das mögliche Kriterium für die Langschrittigkeit der Schach-Türme liegt in magischen Pfaden begründet. Von jedem beliebigen Feld des sonst leeren Schachbretts aus findet ein Turm 5040 ( = 7! ) Wege, in 7 Zügen die Zahl 260 zu erzeugen (z.B. vom Feld a1 aus 1+57+6+62+59+3+64+8).

Die Elemente der beiden Hauptdiagonalen des MQ addieren sich zu je 260. Außerdem ist jeder diagonale Zickzack-Pfad von einer Kante zur gegenüberliegenden in 7 Zügen magisch. Demnach sind auf dem Schachbrett auch diagonal ziehende Steine erlaubt.

An jedes zentrale Feld des Brettes grenzen 4 diagonale Felder an, deren Elemente summiert 130 ( = 260/2 ) ergeben. Dieses Ergebnis ändert sich nicht, wenn man die nächsten 4 Diagonalelemente betrachtet. Einer französischen Legende aus dem 15. Jahrhundert über die heroischen Taten der Jeanne d'Arc (Jungfrau von Orleans) zufolge, hat die Dame erst in jener Zeit die Kombination der heute üblichen Gangarten von Turm und Läufer bekommen. Zuvor bewegte sie sich als Fers bzw. Wesir (Minister, Berater) nur ein Feld weit diagonal. Entsprechend durfte der Läufer, damals Elefant, immer nur zwei Felder weit diagonal ziehen.

Der König läuft auf gerade- und diagonal-kombinierten Pfaden (z.B. 4+12+44+36+29+21+53+61 = 260).

Die magischen Springerpfade sind Zickzack-Linien von einer Kante zur gegenüberliegenden (sogenannte Wendeltreppen z.B. 63+12+18+37+34+21+15+60). Von den subzentralen Feldern c3, c6, f3 und f6 aus erzeugt ein Springer eine "magische Rosette", indem er 8 Felder bedroht, deren Elemente zusammengezählt 260 ergeben (z.B. von f6 aus 63+4+13+36+29+34+25+56).

Die Steine stehen in der Grundstellung auf Reihen, welche jeweils die Summe 260 haben. Jeder Figurenkomplex aus 8 Steinen (z.B. die 4 Türme mit ihren 4 Turmbauern) bedeckt Felder mit der magischen Summe 260.

Die Endfelder zahlreicher symmetrischer Eröffnungsbilder, die als Tabas im persischen Shantranj, einem Vorläufer unseres Schachspiels, Verwendung fanden, ergeben aufaddiert die magische Konstante. (Damals war der 2-Schritt-Zug der Bauern aus der Grundstellung heraus noch unbekannt; z.B. 1.) e3, e6; 2.) d3, d6; 3.) Sf3, Sc6; 4.) Sc3, Sf6 ; 21+45+20+44+22+43+19+46 = 260; siehe hierzu auch J. Gik "Schach und Mathematik", Verlag Harry Deutsch).

Wer geduldig sucht, findet sicher noch mehr magische Eigenschaften des Schachspiels auf diesem MQ.

Mich beschäftigt seit längerer Zeit die Frage, wie man wohl in einem 4-hoch-3-CUBUS "Raum-Schach" und andere klassische Brettspiele in 3D realisieren kann. Ein solcher Spielraum ist ideal mit dem Schachbrett vergleichbar, denn

8*8 = 4*4*4 = 64.

Bei der Suche nach Hinweisen für die Gangarten der Figuren im Raum bin ich, angeregt durch den MQ-Artikel von Herrn Dr. Pöppe in Spektrum der Wissenschaft 1/96, auf einen magischen CUBUS (MC) der Größe 4 mit der magischen Konstante 130 gestoßen, der ganz ähnliche Eigenschaften aufweist wie das Safadi-MQ. Er bestätigt, soweit ich die Magie recht verstehe, weitgehend meine Vermutungen über die Bewegung der Spielsteine in drei Dimensionen.

Der magische CUBUS

g

d

4

36

30

31

33

61

3

2

64

3

25

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38

28

8

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5

2

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42

24

2

54

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9

1

48

18

19

45

9

15

14

52

a

b

4

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50

16

20

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47

17

3

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10

11

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23

22

44

2

60

6

7

57

37

27

26

40

1

1

63

62

4

32

34

35

29

a

b

c

d

a

b

c

d

Jede gerade waagerechte, senkrechte oder lotrechte Linie aus 4 Feldern (besser Kammern) enthält 4 Elemente, die aufsummiert 130 ergeben. Demnach sollte der CUBUS für Steine geeignet sein, die sich kurzschrittig geradeaus bewegen dürfen.

Gleiches gilt zwar für die räumlichen Hauptdiagonalen, nicht aber für die Flächendiagonalen. Das mag als Erklärung gedeutet werden, warum es in den Schach hoch 3-Regeln keine langschrittigen Diagonalfiguren gibt. Sowohl Dame als auch Läufer ziehen flächendiagonal nur einen Schritt weit.

Der Turm bleibt im CUBUS langschrittig, denn man findet für ihn zahlreiche magische Pfade aus 7 Zügen, deren beteiligte Kammern summiert 260 ergeben (z.B. 1+13+61+49+52+64+16+4). Jede auffindbare 2-Kubik-Zelle enthält 8 Elemente mit der magischen Summe 260.

An jede zentrale Kammer grenzen an ihre Kanten flächendiagonal 12 Kammern an, deren Elemente aufaddiert gleich 390 ( = 3*130 ) sind. Zentrale Zickzack-Pfade aus 3 Zügen von einer Seite zur gegenüberliegenden summieren sich zu 130.

An jede zentrale Kammer grenzen an ihre Ecken raumdiagonal 8 Kammern an, deren Elemente sich zu 260 addieren. Trotzdem habe ich (zugunsten der Springer) keine raumdiagonalen Figuren in Schach hoch 3 eingeführt, denn solche störten im praktischen Test die "flachen Symmetrien" der übrigen Schachfiguren. Außerdem erreichen raumdiagonale Figuren (Einhörner) nur 16 der 64 möglichen Kammern.

Der Springer betritt von jeder Randkammer aus magische Pfade, die aus 7 Zügen bestehen (z.B. 32+26+17+23+35+44+46+37 = 260). Eine Wendeltreppe besitzt der Springer im CUBUS zwar nicht, jedoch findet man dort geschlossene Euler-Pfade mit einigen magischen Eigenschaften (siehe auch Spektrum der Wissenschaft 2/92, Mathematische Unterhaltungen).

Desweiteren gibt es aus zwei geraden und einem diagonalen Schritt kombinierte magische Pfade durch das Zentrum (z.B. 34+27+22+47 = 130). Diesen Umstand nahm ich als Hinweis für die Gangart der Dame im CUBUS, während der König nicht diagonal, sondern nur gerade zieht, um überhaupt sinnvoll mattgesetzt werden zu können.

Da jede Linie, Reihe und Spalte aus 4 Elementen mit der Summe 130 besteht, benötigt man im CUBUS nur 4 Bauern (zumal ein Bauer in 3 Dimensionen eine räumliche Freiheit dazugewinnt und somit die doppelte Beweglichkeit seines Kollegen vom Brett besitzt).

Jeder Figurenkomplex aus 4 Steinen bedeckt in der Grundstellung 4 Kammern mit der magischen Summe 130 ( z.B. 4 Türme auf a1a, d1a, a4d und d4d).

Eine weitere bemerkenswerte Eigenschaft dieses MC ist, daß durch Zeilen-, Spalten- und Ebenenverschiebung wieder ein MC mit denselben Haupteigenschaften entsteht. Der dargestellte MC enthält demnach eine Magie der Ordnung 2-hoch-6 ( = 64 ). Zur Veranschaulichung kann man sich einen Hypertorus vorstellen, bei dem jede Seitenfläche des CUBUS mit ihrer gegenüberliegenden Fläche verbunden ist.

zum Beginn der Spieltheorie


Elementare Endspiele im CUBUS

Endspiele gegen den alleinstehenden König werden als elementar bezeichnet. Das Problem der Spielbarkeit einer Variation des traditionellen Schach ist eng an die Frage geknüpft, ob (und wenn ja wie) bestimmte Figuren und Figurenkombinationen einen einsamen König mattsetzen können.

Der Einfachheit halber wird angenommen, daß die zum jeweiligen Einsatz kommenden Steine das Endspiel auf ihren Eröffnungsfeldern beginnen. Es wurden also alle nicht benötigten Figuren aus der Grundstellung entfernt. Den kompletten Variantenbaum jedes Endspiels anzugeben, wäre an dieser Stelle übertrieben. Stattdessen zeigen die aufgezeichneten Zugfolgen aber schön den jeweiligen Stil der Mattführung. Grundsätzlich hat Weiß als Anziehender den Wunsch, die Bewegungsfreiheit des schwarzen Monarchen immer mehr (falls möglich bis zum Matt, wenigstens aber bis zum Patt) einzuschränken. Schwarz hingegen wählt für seinen König zumeist die Fluchtkammer, welche die wenigsten bedrohten Nachbarkammern hat.

Es ist nicht ganz auszuschließen, daß bessere Gewinnwege übersehen worden sind. Prüfen Sie deshalb, wenn es Ihnen Freude bereitet, ob wir richtig hingeschaut haben.

König und Turm gegen König
Kw - c1a, Tw - a1a, Ks - b4d

1. Kc1b Kb3d 2. Kc2b Kb3g 3. Tb1a Ka3g 4. Kb2b Ka3d 5. Kb2g Kb3d 6. Tb1g Kc3d 7. Kc2g Kc4d 8. Kc3g Kb4d 9. Kc3d Ka4d 10. Ta1g Kb4d 11. Ta4g patt

Eine Mattstellung kann Weiß nicht erzwingen. Dieses Endspiel endet bestenfalls mit einem Patt, was einen großen Unterschied zum Brett-Schachspiel bedeutet! Das ist auch der Grund, warum in dieser Schach-Variante das Patt kein Unentschieden, sondern ein "kleinen Sieg" ist.

König und Dame gegen König
Kw - c1a, Qw - b1a, Ks - b4d

1. Qb2b Kb4g 2. Kc1b Kc4g 3. Kc2b Kb4g 4. Qb3b+ Kb4d 5. Qb3g+ Kc4d 6. Kc2g Kd4d 7. Qc4g+ (nicht 7. Qc3g? patt) Kd3d 8. Qd4g+ Kd2d (nicht 8. ...Kc3d? 9. Qc3g matt) 9. Qd3g+ Kd1d 10. Qd2g+ Kc1d 11. Qc2d matt

So muß das sein! Dame und König machen dem alleinstehenden Monarchen in wenigen Zügen den Gar aus. Das heißt aber auch, dass ein vom gegnerischen König weit entfernter Freibauer den Tag entscheidet, weil dieser sich bei Erreichen der gegnerischen Grundreihe in eine Dame verwandeln kann.

König und zwei Türme gegen König
Kw -c1a, Tw - a1a, Tw - d1a, Ks - b4d

1. Kc1b Kb3d 2. Kc2b Kb3g 3. Tab1a Ka3g 4. Td3a Kb3g 5. Tb1b Ka3g 6. Td3b Ka2g 7. Ta3b Ka2d 8. Ta3g Kb2d 9. Kc2g Kb3d 10. Kc2d Kb4d 11. Tb1g Kc4d 12. Tb4g Kd4d 13. Ta3d Kc4d 14. Ta4d matt.

Stilistisch anders als auf dem Brett aber ebenso erfolgreich.

König, Turm und Läufer gegen König

Kw - c1a, Tw - a1a, Lw - c1b, Ks - b4d

1. Kc2a Kb3d 2. Kc2b Kb3g 3. Tb1a Ka3g 4. Lb2b Ka3d 5. Tb1g Kb3d 6. Kc2g Kc3d 7. Lb3g+ Kb3d 8. Lc4g Ka3d 9. Ta1g Kb3d 10. Kb2g Ka3d 11. Kb3g Ka2d 12. Lc3d Ka3d 13. Ta1d matt

König und zwei Läufer gegen König

Kw - c1a, Lw - b1b, Lw - c1b, Ks - b4d

1. Kc2a Kb3d 2. Kc2b Kb3g 3. Kc3b Ka3g 4. Kb3b Ka3d 5. Kb3g Ka2d 6. Lb1g Ka3d 7. Lb2g Ka4d 8. Kb4g Ka3d 9. Lb2d+ Ka4d 10. Lb3d matt

Mit dem Läuferpaar geht es am schnellsten und außerdem recht elegant. Beachten Sie bitte die Käfigwirkung des schwarzfeldrigen Läufers auf b2g und dem weißen König auf b4g. Dem schwarzen König bleiben nur die Felder a3d und a4d zum Pendeln. Eine solche Stellung ist charakteristisch für alle Endspiele bei denen mindestens ein Läufer beteiligt ist. Ist der alleinstehende König in solch einem Käfig gefangen, gibt es kein Entkommen mehr.

König, Turm und Springer gegen König
Kw - c1a, Tw - a1a, Sw - a1b, Ks - b4d

1. Kc1b Kb3d 2. Kc2b Kb3g 3. Tb1a Kb4g 4. Tb1b Kc4g 5. Kc3b Kd4g 6. Sc2b Kd3g 7. Sb4b Kd2g 8. Sd4g Kd3g 9. Sd3a Kd3d 10. Kc3g Kd2d 11. Kc2g Kd3d 12. Sb3b Kd4d 13. Sb4d Kc4d 14. Sb2g Kc3d 15. Tb3b Kc4d 16. Kc3g Kd4d 17. Sb4d Kc4d 18. Tb4b Kd4d 19. Tb4g Kc4d 20. Sb3b Kd4d 21. Tc4g Kd3d 22. Td4g Kd2d 23. Sc1b Kd3d 24. Td4b! Kd2d 25. Kc2g Kd3d 26. Sd1d Kd2d 27. Td4d matt

Schon etwas schwieriger! Besonders beachtenswert sind einerseits die Springermanöver, die dem schwarzen König nur Kanten- und Eckfelder überlassen und andererseits das Tempoverlust-Manöver des Turms im 24. Zug.

König, Läufer und Springer gegen König
Kw - c1a, Lw - b1b, Sw - d1b, Ks - b4d

1. Sb2b! Kc4d 2. Sd2g Kc3d 3. Lb2g Kd3d 4. Kc2a Kd3g 5. Lc2b Kd4g 6. Kc3a Kd3g 7. Kc3b Kd4g 8. Kc4b Kd3g 9. Kc4g Kd3d 10. Kc3g Kd2d 11. Kc3d Kd1d 12. Kc2d Kd1g 13. Sb2b Kd1d 14. Kc2g Kd2d 15. Lc3g Kd1d 16. Kc1g Kd2d (der Käfig) 17. Sd3b+ Kd1d 18. Ld2g matt

Eine vollständige Analyse dieses Problems verdanken wir Ulf Engel aus Dossenheim, der glücklicherweise meine Vermutung bezweifelte, dieses Endspiel sei nicht mit matt abzuschließen. Maßgeblich für die Existens einer solchen Mattführung ist die Fähigkeit des Läufers, ein Tempo zu verlieren, über die wegen des Zwanges zum permanenten Farbwechsel bei jedem Zug König und Springer nicht verfügen. Schließlich erweist sich der Läuferkäfig auch in diesem Endspiel als Todesfalle für den einsamen Monarchen.

Nun bleibt mir nur noch, Ihnen viel Spaß bei Ihren Raumschach-Partien zu wünschen. Wenn es Ihnen Freude bereitet, knobeln sie doch ein paar Schachrätsel aus oder schicken Sie mir Ihre Partien.

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